Russian
English
ChineseПрошедшие семинары
- Иванов Д.Х., к.ф.-м.н., м.н.с. ЯО РНОМЦ ДЦМИ
"Численное восстановление правой части параболического уравнения с дробной производной по времени"
Рассматривается задача восстановления зависящей от времени множителя правой части уравнения субдиффузии. Дробная производная по времени берется в смысле Капуто. Дополнительная информация задается как решение краевой задачи в некоторой внутренней точке. Строится дискретный аналог прямой задачи на основе линеаризации дробной производной и использования метода конечных разностей по пространству. Вычислительный алгоритм решения обратной задачи базируется на специальной декомпозиции решения дискретной прямой задачи на две сеточные эллиптические задачи. Значение неизвестной функции определяется на каждом временном шаге. - Никифоров Д.Я., к.ф.-м.н., м.н.с. ЯО РНОМЦ ДЦМИ
"Бессеточный многомасштабный метод с явно-неявной схемой по времени"
В данной работе предлагается многомасштабный подход со схемой расщепления по времени. Идея состоит в том, чтобы на примере нелинейной задачи Стефана использовать явно-неявную временную схему, где неявная схема используется для грубосеточных узлов, подобласти которых содержат контрастные включения, а явная схема - для всех остальных. Таким образом можно использовать шаг по времени, не зависящий от высокого контраста многомасштабной задачи. Также разрабатывается модель глубокой нейронной сети для прогнозирования грубосеточного решения неявной части задачи. Представлены численные результаты для двумерной задачи с сезонно-действующими охлаждающими устройствами. - Лазарев Нюргун Петрович, д.ф.-м.н., г.н.с. - руководитель ЯО РНОМЦ ДЦМИ
"Оптимальное управление углом между двумя тонкими жесткими включениями в двумерном неоднородном теле"
В работе исследована нелинейная математическая модель о равновесии двумерного упругого тела с двумя тонкими жесткими включениями. Предполагается, что два жестких включения имеют одну общую точку соединения. Кроме того, связь между двумя включениями в данной точке характеризуется положительным параметром повреждаемости. Прямолинейные включения расположены под заданным углом к друг другу в исходном состоянии. На части внешней границы задаются нелинейные условия Синьорини, описывающие контакт с препятствием, на другой части — однородные условия Дирихле. Сформулирована задача оптимального управления параметром, задающим угол между включениями. Функционал качества задается с помощью произвольного непрерывного функционала, определенного на пространстве Соболева. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от угла между включениями. - Псху А.В., д.ф.-м.н., директор Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
"Основы интегрирования и дифференцирования дробного порядка"
- Федоров В.Е., д.ф.-м.н., профессор кафедры математического анализа Челябинского государственного университета
"Начальная задача для уравнения с производной Джрбашяна - Нерсесяна"
- Кожанов А.И., д.ф-м.н., профессор, г.н.с. Института математики СО РАН
"Нелокальные задачи и задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных"
- Хлуднев А.М., д.ф.-м.н., профессор Механико-математического факультета НГУ, заведующий лабораторией Гидроаэропругости Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
"Математические проблемы композитных материалов с тонкими включениями"
- Федотов Е.Д., "Вокруг одной задачи Коши с дробным производным".
Производная Капуто и Римана-Лиувилля имеют много общего. В частности, для некоторых классов функцию они могут быть эквивалентны. В связи с этим решение одной задачи с дробным производным Капуто может быть использовано для решения аналогичной задачи с дробным производным Римана-Лиувилля. В работе получена теорема сущ. и ед. задачи Коши с дробной производной Римана-Лиувилля на основе аналогичной задачи с дробной производной Капуто. - Верховцев С.Д., "Задача о равновесии композитной оболочки с условиями непроникания на трещине".
Рассматривается вариационная постановка задачи равновесия пологих оболочек Кирхгофа-Лява и Тимошенко с трещиной на границе между ними, составляющих единую композитную оболочку. Получена эквивалентная постановка задачи в виде дифференциального уравнения с условиями на трещине и внешней границе. - Верховцев С.Д., "Задача о равновесии композитной оболочки с условиями непроникания на трещине".
Дана вариационная постановка задачи о равновесии в новой конфигурации: пологой композитной оболочки с трещиной между компонентами, одна из которой представляет собой оболочку Кирхгофа-Лява, а другая - оболочку Тимошенко. Доказана теорема существования. - Кардашевский А.М., "Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности с помощью интеграла Пуассона".
В работе рассматривается обратная задача определения финитного начального условия начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности в безразмерных переменных, определенной в ограниченной области с помощью интеграла Пуассона. Дискретизация линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода проводится с помощью квадратурной формулы прямоугольников. Для численной реализации полученной системы линейных алгебраических уравнений с полной, симметричной, положительной, плохо обусловленной матрицей предлагается использовать метод сопряженных градиентов. Приведены примеры восстановления гладких и разрывных начальных условий в одномерном и двумерном случаях, в том числе, и с введением «шума», характерного условиям переопределения обратных задач. - Ядрихинский Х.В., "Групповая классификация одного дробного дщифференциального уравнения".
Из уравнения ценообразования опционов Гуента-Пу получено дробное уравнение. Методом аналогичным методу групповой классификации Ли-Овсянникова получены группы преобразований эквивалентности и группы Ли дроных дифференциальных уравнений для двух случаев. - Никифоров Д.Я., "Численное моделирование искусственного промерзания грунта с использованием бессеточного многомасштабного метода".
Процессы тепло- и массопереноса в многолетнемерзлых грунтах характеризуются разномасштабной природой моделируемых объектов (свай, охлаждающих устройств, тонких включений теплоизолирующего материала). Разномасштабная и мультифизичная природа рассматриваемых процессов требует построения новых математических моделей, современных эффективных вычислительных алгоритмов и их исследования. Трубы, устройства искусственного замораживания грунта и другие высококонтрастные элементы могут потребовать более высокой концентрации элементов грубой сеткой для повышения точности. Основной целью данной работы является построение эффективного многомасштабного алгоритма для решения рассматриваемой задачи в системе грунт-труба. - Иванов Д.Х., "Численное восстановление кусочно-постоянной правой части эллиптического уравнения".
Математическое моделирование поиска области однородного рудного тела по наблюденным значениям гравитационного поля сводится к задаче восстановления кусочно-постоянной правой части эллиптического уравнения. Гравитационное поле приближается решением краевой задачи для эллиптического уравнения с граничным условием третьего рода. Ставится вариационная формулировка, численная реализация базируется на методе конечных элементов. Для аналитического представления контура неизвестной области применяется нулевая изоповерхность вспомогательной достаточно гладкой функции. Квазирешение обратной задачи находится из минимизации невязки предсказанных и наблюденных данных с помощью градиентного метода. Вычислительные возможности метода приводятся на примере двух- и трехмерных модельных задач. - Лазарев Н.П., "Задача о расположении включения в упругом двумерном теле с двумя тонкими жесткими включениями".
В настоящей работе исследуется задача оптимального управления в рамках нелинейных математических моделей, описывающих состояние равновесия неоднородных тел. Нелинейность моделей обусловлена условиями Синьорини на границе возможного контакта с неподвижным недеформируемым препятствием. Предполагается, что неоднородные тела состоят из упругой матрицы и двух встроенных тонких жестких включений. Для рассматриваемой задачи оптимального управления функционал качества задается произвольным непрерывным функционалом, заданным на пространстве решения, а управлением служит параметр расположения одного из жестких включений. В предположении, что параметр расположения изменяется в замкнутом интервале, устанавливается разрешимость задачи оптимального управления. Доказано, что задачу о равновесии упругого тела с двумя соединенными жесткими включениями можно рассматривать как предельную задачу для семейства задач о равновесии тел с двумя отдельными включениями. - Ильина К.П., "Численное решение начально-краевых задач для уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и его обобщений".
Уравнение Фишера-Колмогорова, Петровского, Пискунова (Ф–КПП) широко используется для описания решений типа "бегущей волны" в экологии, физиологии, горении, физике плазмы и фазовых переходах. Это естественное расширение модели логистического роста населения, в которой население рассеивается посредством линейной диффузии. В этом исследовании сосредоточимся на численном решении одномерного квазилинейного уравнения Ф–КПП. Приводятся результаты вычислительного эксперимента решения нелинейной модельной задачи при помощи разностной схемы Кранка-Николсон. - Федотов Е.Д., "Краевая задача на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной Капуто".
В работе рассмотрена однозначная разрешимость краевой задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка с дробной производной Капуто и постоянными коэффициентами в классе ограниченных функций. Получены условия типа Лопатинского для граничных операторов, при которых краевая задача будет однозначно разрешима в классе ограниченных функций. - Кардашевский А.М., "Об итерационном методе решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности используя интеграл Пуассона".
Предложено решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности, заключающийся в численном решении интеграла Пуассона методом сопряженных градиентов. Проведенные расчеты на модельных примерах показали высокую точность и вычислительную эффективность. - Никифоров Д.Я., "Численное многомасштабное моделирование на неструктурированных грубых сетках".
Как известно, при многомасштабном моделировании необходимо строить специальную расчетную сетку. Эта расчетная сетка должна учитывать все масштабы задачи, т.е. содержатькак элементы мелкого масштаба, так и элементы грубого масштаба. В большинстве работ о многомасштабных методах авторы используют структурированные сетки на грубом масштабе. Но на практике реальные объекты исследования имеют неструктурированную неоднородную форму и имеют негладкие границы, например, многослойный грунт. Так же, построение специальных структурированных сеток для многомасштабных методов может быть затруднено в случаях, когда необходимо использовать уже существующие сложные расчетные сетки в мелком масштабе; а построение новой сетки с учетом всех мелких неоднородностей задачи затруднено и требует много временных затрат. В таком случае, практически невозможно построить специальную расчетную сетку в короткие сроки. Очевидно, что грубый масштаб в таких задачах должен быть адаптивно построен поверх уже существующей мелкой расчетной сетки, и в соответствии с требованиями задачи легко варьировать размеры ячеек. На примере однофазной задачи фильтрации рассмотрим построение многомасштабного пространства базисных функций. Рассмотрим несколько способов построения грубых сеток для грубого масштаба. Численно сравним решения, полученных с помощью предлагаемых методов, с решениями на подробной сетке. - Ядрихинский Х.В., "Обобщенные группы Ли модели Гуента-Пу".
Ведется поиск и изучение обобщенных групп Ли(группы Ли-Беклунда) модели Гуента-Пу при разных случаях свободной функции с целью дальнейшего изучения законов сохранения модели. Для линейной относительно производой по q свободной функции найдены три оператора рекурсии, которые генерируют новые обобщенные группы более высокого порядка. При нелинейной свободной функции показано, что все обобщенные симметрии конечного порядка порождены классическими группами Ли допускаемые данной свободной функцией. - Иванов Д.Х., "Численные методы решения прямой задачи гравиметрии".
Под прямой задачей гравиметрии подразумевается задача нахождения гравитационного поля (гравитационного потенциала) от заданного тела. Возможные численные методы решения зависят от постановки задачи. Традиционными методами являются методы на основе аналитического или приближенного вычисления объемных интегралов. Более современные методы базируются на решении краевой задачи для эллиптического уравнения. В данном докладе рассматривается численное решение краевой задачи для уравнения Пуассона в ограниченной области методом конечных элементов. Исследуется влияние размера расчетной области и различных граничных условий, аппроксимирующих поведение гравитационного поля на удалении, на точность метода.