Том 25, выпуск 2

Математика

1. Вихрева О. А. О первой краевой задаче для сильно вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения
Аннотация. Рассмотрен частный случай ранее изученного автором вырождающегося дифференциального оператора второго порядка с сохранением введенных предположений и обозначений. Основное внимание в работе уделяется изучению эффектов, связанных с "сильным" вырождением. Настоящая задача решается для использования в дальнейших исследованиях формально сопряженного (связанного операцией транспонирования) уравнения, а также для получения некоторой теоремы существования и единственности обобщенного решения формально сопряженного уравнения из доказанной теоремы. Использование приведенных ниже результатов, относящихся к данному уравнению, сводится в простейшем случае к операторным уравнениям. Исследованы существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи для данного уравнения с применением теории операторов, также приводится обобщенное решение данного уравнения в случае, связанном с "сильным" вырождением. Результаты, полученные для данного уравнения, содержащего вырождение, будут использованы в дальнейшем для исследования таких уравнений, которые содержат модельные операторы. Уравнения такого вида возникают при математическом моделировании различных физических процессов.

Ключевые слова: гильбертово пространство, вырождающийся дифференциальный оператор, обобщенное решение, сильное вырождение, неоднородное уравнение, общее решение, частное решение, модельные операторы.

2.  Григорьева А. И. Начально-краевая задача с условиями сопряжения для уравнений составного типа с двумя разрывными коэффициентами
Аннотация. Изучается разрешимость начально-краевой задачи с условиями сопряжения для двух неклассических дифференциальных уравнений составного типа. Описывается случай, когда коэффициенты каждого рассматриваемого уравнения имеют разрыв 1-го рода в точке нуль. Область исследований задана в виде полосы ввиду наличия точки разрыва, состоящей из двух подобластей. Таким образом, исследуемые уравнения рассматриваются в двух различных областях. Для доказательства существования и единственности регулярных решений (которые имеют все обобщенные производные, входящие в уравнения) начально-краевой задачи используется метод продолжения по параметру, имеющий широкое применение в теории краевых задач. С помощью принципа максимума устанавливается наличие всех необходимых априорных оценок для решений изучаемой задачи.

Ключевые слова: уравнения составного типа, начально-краевые задачи, разрывные коэффициенты, задача сопряжения, регулярные решения, существование и единственность, априорные оценки.


3. Жуковская Н. В., Ситник С. М. Дифференциальные уравнения типа Эйлера дробного порядка
Аннотация. Дано решение неоднородного дифференциального уравнения типа Эйлера с дробными производными Римана - Лиувилля на полуоси в классе функций, представимых дробным интегралом, в терминах дробного аналога функции Грина. Построены дробные аналоги функции Грина в том случае, когда все корни характеристического многочлена различны, а также в случае, когда среди корней характеристического многочлена есть кратные. Сформулированы и доказаны теоремы разрешимости неоднородного дробно-дифференциального уравнения типа Эйлера на полуоси. Рассмотрены некоторые частные случаи и примеры.

Ключевые слова: дробные интегралы Римана-Лиувилля, дробные производные Римана-Лиувилля, прямое и обратное преобразования Меллина, дробный аналог функции Грина.

4. Фаязова З. К. Граничное управление для псевдопараболического уравнения
Аннотация. Ранее была рассмотрена задача: на части границы области $\Omega\subset R^3$ находится нагреватель, имеющий регулируемую температуру. Требуется найти такой режим работы нагревателя, чтобы средняя температура в некоторой подобласти $D$ области $\Omega$ принимала заданное значение. В данной работе рассматривается аналогичная задача граничного управления связанная с псевдопараболическим уравнением на отрезке. На части границы рассматриваемого отрезка задается значение решения, которое содержит параметр управления. Ограничение для допустимого управления задано в таком виде, что среднее значение решения в некоторой части рассматриваемого отрезка принимает заданное значение. Решается вспомогательная задача методом разделения переменных. Искомая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Методом преобразования Лапласа доказываются теоремы о существовании и единственности допустимого управления.

Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, граничное управление, параметр управления, интегральное уравнение Вольтерра, преобразование Лапласа.

5. Хохолов В. Б. О свойстве функции модуль числа при различных узлах интерполирования по Лагранжу
Аннотация. Рассматриваются интерполяционные процессы Лагранжа по следующим матрицам узлов интерполирования: матрица по корням многочлена Чебышева I-го рода; матрица по корням многочлена Лежандра; расширенная матрица по корням многочлена Лежандра. Для этих матриц доказаны равномерная сходимость процесса Лагранжа при интерполировании функции модуль числа. Получены оценки порядка сходимости для каждой из этих матриц узлов. Для улучшения качества сходимости к матрице по корням Лежандра в качестве узлов были добавлены и концы отрезка. При этом для функции модуль числа порядок сходимости процесса Лагранжа не меняется, а лишь улучшается примерно в 8 раз. Для сравнения приводится отрицательный результат и по матрице равноотстоящих узлов.

Ключевые слова: модуль числа, интерполяция, постоянная Лебега, многочлены Чебышева и Лежандра, расширенная матрица.


6. Черников П. В. Абсолютные σ-ретракты и теорема Лузина
Аннотация. Устанавливаются некоторые свойства абсолютных $\sigma$-ретрактов. Приводится обобщение классической теоремы Лузина об аппроксимации измеримых отображений непрерывными отображениями, а именно установлено следующее утверждение.
Теорема. Пусть $Y$ - полное сепарабельное метрическое пространство и $Y$ является абсолютным $\sigma$-ретрактом, $X$ - нормальное пространство, $A$ - замкнутое подмножество $X$, $\mu\geq0$ - мера Радона на $A$, $f:A\rightarrow Y$ - $\mu$-измеримое отображение.
Тогда для всякого $\varepsilon>0$ существуют такое замкнутое подмножество $A_{\varepsilon}$ множества $A$, что $\mu(A\backslash A_{\varepsilon})\leq\varepsilon$, и такое непрерывное отображение $f_{\varepsilon}:X\rightarrow Y,$ что $f_{\varepsilon}(x)=f(x)$ для всех $x\in A_{\varepsilon}$.
Отметим, что связное сепарабельное $ANR(\mathfrak{M})$-пространство принадлежит $AR_{\sigma}(\mathfrak{M})$.

Ключевые слова: абсолютный σ-ретракт, теорема Лузина.


7. M. Kostić Weyl-almost periodic and asymptotically Weyl-almost periodic properties of solutions to linear and semilinear abstract Volterra integro-differential equations
Аннотация. The main purpose of paper is to considerWeyl-almost periodic and asymptotically Weyl-almost periodic solutions of linear and semilinear abstract Volterra integro-differential equations. We focus our attention to the investigations of Weyl-almost periodic and asymptotically Weyl-almost periodic properties of both, finite and infinite convolution product, working in the setting of complex Banach spaces. We introduce the class of asymptotically (equi)-Weyl-p-almost periodic functions depending on two parametres and prove a composition principle for the class of asymptotically equi-Weyl-p-almost periodic functions. Basically, our results are applicable in any situations where the variation of parameters formula takes a role. We provide several new contributions to abstract linear and semilinear Cauchy problems, including equations with the Weyl-Liouville fractional derivatives and the Caputo fractional derivatives. We provide some applications of our abstract theoretical results at the end of paper, considering primarily abstract degenerate differential equations, including the famous Poisson heat equation and its fractional analogues.

Ключевые слова: Weyl-p-almost periodic functions, asymptotically Weyl-p-almost periodic functions, abstract Volterra integro-differential equations.

8. E. L. Shishkina, M. Karabacak Singular Cauchy problem for generalized homogeneous Euler–Poisson–Darboux equation
Аннотация. In this paper, we solve singular Cauchy problem for a generalised form of an homogeneous Euler–Poisson–Darboux equation with constant potential, where Bessel operator acts instead of the each second derivative. In the classical formulation, the Cauchy problem for this equation is not correct. However, S. A. Tersenov observed that, considering the form of a general solution of the classical Euler–Poisson–Darboux equation, the derivative in the second initial condition must be multiplied by a power function whose degree is equal to the index of the Bessel operator acting on the time variable. The first initial condition remains in the usual formulation. With the chosen form of the initial conditions, the considering equation has a solution. Obtained solution is represented as the sum of two terms. The first tern is an integral containing the normalized Bessel function and the weighted spherical mean. The second term is expressed in terms of the derivative of the square of the time variable from the integral, which is similar in structure to the first term.

Ключевые слова: Bessel operator, Euler–Poisson–Darboux equation, singular Cauchy problem.

Математическое моделирование

9. Крымский Г. Ф., Ромащенко Ю. А., Шарин Е. П. Равновесные плазменные конфигурации в поле магнитного диполя
Аннотация. При построении модели внешней оболочки пульсара, при исследовании процессов во время солнечных вспышек или при исследовании динамики магнитосферы приходится сталкиваться с задачами о равновесных и неравновесных конфигурациях замагниченной плазмы. Задачи эти весьма сложные, так как зачастую сводятся к решению нелинейных уравнений второго порядка, аналитический метод решения которых в настоящее время еще недостаточно разработан. В данной работе рассматривается модельная задача о равновесии сгустка плазмы в поле магнитного диполя. Ранее эта задача решалась в более простой постановке [1], поэтому мы здесь приводим решение более полного варианта. Как и ранее, задача решается в плоском варианте, что позволило использовать математический аппарат аналитических функций. При этом сделано одно допущение: второй, симметричный относительно диполя сгусток плазмы, был заменен эквивалентным линейным током, что привело к односвязанности задачи. Результаты задачи могут использоваться в астрофизике и при рассмотрении магнитосферных процессов.

Ключевые слова: плазма, магнитный диполь, уравнение Грэда-Шафранова.