Классическая формула Герона выражает площадь евклидова треугольника через длины его сторон. Индийский математик и астроном Брахмагупта в семнадцатом веке получил аналогичную формулу для выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность. Немецкий математик Карл Бретшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника через длины его сторон и сумму двух противоположных углов. Цель настоящей работы получить аналог теоремы Бретшнайдера в гиперболической геометрии.

Ключевые слова: ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОЩАДЬ, ТЕОРЕМА БРЕТШНАЙДЕРА, HYPERBOLIC QUADRILATERAL, HYPERBOLIC AREA, BRETSCHNEIDER THEOREM

Рассматривается проективно-дифференциальная геометрия одной пары пятимерных комплексов двумерных плоскостей одного и того же типа в проективном пространстве P ⁵.

Ключевые слова: ГРАССМАНОВО МНОГООБРАЗИЕ, ГРАССМАНОВО ОТОБРАЖЕНИЕ, КОНУС СЕГРЕ, GRASSMANN MANIFOLD, GRASSMANN MAP, SEGRE CONE

В цилиндрической области $Q\subseteq R^{n+1}$ исследована гладкость решения первой краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения второго порядка. Для приближенных решений данной краевой задачи установлена оценка погрешности стационарного метода Галёркина в норме пространства $W^{1,0}_2(Q)$

Ключевые слова: СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ГАЛЕРКИНА, STATIONARY GALERKIN METHOD, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, APPROXIMATE SOLUTION, НЕРАВЕНСТВО, INEQUALITY, ОЦЕНКА, ESTIMATION

Для ультрапараболических уравнений исследуется краевая задача с заданием нелокальных условий по временной переменной. Доказывается теорема разрешимости в классах регулярных решений.

Ключевые слова: УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ULTRAPARABOLIC EQUATION, НЕЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, NONLOCAL CONDITION, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ, EXISTENCE, UNIQUENESS

Исследуются свойства незнакоопределенных дифференциальных операторов, к области определения которых относятся функции, которые могут иметь разрывы в некотором наборе точек. Предельные значения функции и ее производных в этих точках связана произвольными условиями склейки. Доказано, что почти во всех случаях существование максимальных инвариантных подпространств не зависит от вида граничных условий.

Ключевые слова: ПРОСТРАНСТВО КРЕЙНА, ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР, J-ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР, ОПЕРАТОР ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ, KREIN SPACE, DISSIPATIVE OPERATOR, J-DISSIPATIVE OPERATOR, STURM- LIOUVILLE OPERATOR

Рассматривается один класс систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с периодическими коэффициентами в линейных членах и параметрами. С использованием функционала Ляпунова — Красовского установлены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения, указано множество притяжения нулевого решения и получены оценки экспоненциального убывания решений.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ, PERIODIC COEFFICIENTS, АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ASYMPTOTIC STABILITY, ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА — КРАСОВСКОГО, DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS, LYAPUNOV-KRASOVSKII FUNCTIONAL

Рассматриваются вопросы разрешимости некоторых линейных обратных задач для эллиптико-параболического уравнения. Неизвестными являются решение и правая часть специального вида, в которой неизвестными являются функции q k(x). Эллиптико-параболическое уравнение дополняется также условиями первой начально-краевой задачи и условиями переопределения. Найдены условия разрешимости задачи, сформулированы теоремы существования обобщенных решений эллиптико-параболического уравнения при различных условиях переопределения.

Ключевые слова: ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ELLIPTIC-PARABOLIC EQUATION, ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, LINEAR INVERSE PROBLEM, АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ, A PRIORI ESTIMATES

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или же конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, PSEUDO-PARABOLIC EQUATION, ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА, SOBOLEV SPACE, НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, REGIONAL PROBLEM, МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРАМ, CONTINUATION METHOD ON PARAMETERS, АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, THE REGULAR DECISION, APRIORISTIC ESTIMATIONS

Рассматривается начально-краевая задача для итерированных уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени высокого порядка. Доказываются теоремы существования и единственности гладких решений в пространстве Гёльдера.

Ключевые слова: ИТЕРИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ, ITERATED EQUATION FOR A PARABOLIC EQUATION WITH CHANGING TIME DIRECTION, ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ, SINGULAR EQUATION, ПРОСТРАНСТВО ГЁЛЬДЕРА, HOLDER SPACE, НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM, СИНГУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ, ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ, SMOOTH SOLUTION

Рассматривается вопрос разрешимости линейной обратной задачи для эллиптико-параболического уравнения. Неизвестными являются решение и правая часть специального вида, в которой неизвестной является функция q(t). Эллиптико-параболическое уравнение дополняется также условиями первой начально-краевой задачи и интегральным условием переопределения. Найдены условия разрешимости задачи, сформулирована теорема существования обобщенного решения эллиптико-параболического уравнения.

Ключевые слова: ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ELLIPTIC-PARABOLIC EQUATION, ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, LINEAR INVERSE PROBLEM, ОБОБЩЕННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ, GENERALIZED SOLVABILITY, АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ, A PRIORI ESTIMATES, ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ, EXTERNAL IMPACT

Рассматривается обратная задача об определении решения параболического уравнения и неизвестной правой части в этом уравнении. Используются стандартные условия первой или смешанной начально-краевой задачи, дополненные условием Неймана на части боковой поверхности цилиндра. При некоторых условиях на данные задачи доказана разрешимость этой задачи в пространствах Соболева.

Ключевые слова: ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА, PARABOLIC EQUATION, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, УСЛОВИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ, OVERDETERMINATION CONDITION

Найдено замкнутое частное решение общей гауссовой бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Указаны условия совместности таких систем.

Ключевые слова: ГАУССОВА СИСТЕМА, GAUSSIAN SYSTEMS, НЕОДНОРОДНАЯ БЕСКОНЕЧНАЯ СИСТЕМА, INHOMOGENEOUS, ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, LINEAR, МЕТОД РЕДУКЦИИ, REDUCTION METHOD, INFINITE SYSTEMS, ALGEBRAIC EQUATIONS

Метод исключения Гаусса обобщен для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Ключевые слова: БЕСКОНЕЧНАЯ СИСТЕМА, INFINITE SYSTEM, ГАУССОВА СИСТЕМА, METHOD OF GAUSSIAN ELIMINATION, ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ, LINEAR EQUATIONS, МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА, GAUSS SYSTEMS

Доказано, что всякий абсолютный w-ретракт обладает свойством неподвижной точки. Класс абсолютных w-ретрактов содержит класс абсолютных $\varepsilon$-ретрактов, для которых это было известно.

Ключевые слова: АБСОЛЮТНЫЙ W-РЕТРАКТ, НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА, ТИХОНОВСКИЙ КУБ, ABSOLUTE W-RETRACT, FIXED POINT

Рассматривается задача для расчета динамики роста ледяного покрова на водных объектах. Представлена одномерная математическая модель и ее численная реализация. Модель учитывает минерализацию водоема, связанную с этим непостоянную температуру замерзания и влияние снежного покрова. Были проведены тестовые расчеты и ряд расчетов для реальных объектов, сравнения с данными натурных измерений. Примеры расчетов приведены.

Ключевые слова: ЛЕДОТЕРМИКА, ЛЕДОТЕРМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ВОДОЕМОВ, ICE-THERMAL REGIME OF RESERVOIRS, ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД, PHASE TRANSITION, ЗАДАЧА СТЕФАНА, STEFAN PROBLEM, ТЕМПЕРАТУРА ЗАМЕРЗАНИЯ, FREEZING TEMPERATURE, КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ, CRYSTALLIZATION, МЕТОД ПРОГОНКИ, SWEEP METHOD, НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА, AN IMPLICIT FINITE DIFFERENCE SCHEME

Исследуются влияния величины депрессии и вертикального расположения горизонтальной скважины на процесс добычи нефти в условиях конусообразования воды в пласте с подошвенной водой. Работа выполнена для пласта с параметрами, характерными для месторождений Западной Сибири, с помощью численного моделирования на гидродинамическом симуляторе. Приводятся выводы об оптимальной депрессии и оптимальном вертикальном расположении горизонтальной скважины, в частности, в присутствии неоднородности вблизи кровли коллектора в виде слабопроницаемого участка.

Ключевые слова: ДОБЫЧА НЕФТИ, ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, NUMERICAL SIMULATION, КОНУСООБРАЗОВАНИЕ ВОДЫ, CONING OF WATER, ДЕПРЕССИЯ, DEPRESSION, ДАВЛЕНИЕ НАСЫЩЕНИЯ, BUBBLE-POINT PRESSURE, КРИВАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ФАЗОВОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ, ROCK RELATIVE PERMEABILITY CURVE, OIL PERFORMANCE

Рассматриваются модели цепей в R ² и R ³, элементы которых подвержены постоянным случайным воздействиям. Особенностью моделей является коррелированность элементов цепи (звеньев), вызванной зависимостью отклонения последующего звена от выбранной ориентации предыдущего. На основе предложенной модели рассмотрены три подхода к моделированию случайных перемещений (броуновского движения) с конечной скоростью по пространственной решетке, две из которых — при ограничении на выбор направлений возможных перемещений. Рассмотрена динамическая модель изменения размеров цепи, как расстояния от начала до конца цепи. Приведены результаты численного моделирования.

Ключевые слова: СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, RANDOM PROCESS, СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ, STOCHASTIC CHAIN, ПОЛИМЕРНАЯ ЦЕПЬ, POLYMER CHAIN, БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ, BROWNIAN MOTION WITH RESTRICTIONS, БЛУЖДАНИЕ ПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКЕ, RANDOM WALK ON A SPACE LATTICE

Рассматривается частный случай краевой задачи В. Н. Врагова, когда уравнение принадлежит гиперболическому типу вблизи нижнего основания и гиперболопараболическому типу на верхнем основании цилиндрической области. Получена оценка погрешности стационарного метода Галёркина через собственные числа оператора Лапласа в цилиндрической области.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ СМЕШАННОГО ТИПА, EQUATION OF MIXED TYPE, МЕТОД ГАЛЁРКИНА, GALERKIN METHODS, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, НЕРАВЕНСТВО, INEQUALITY, ОЦЕНКА, ESTIMATE

Рассматривается теоретико-игровой подход к решению задачи оптимального выбора процентных ставок по остаткам денежных сумм на счетах клиентов банка.

Ключевые слова: ТЕОРИЯ ИГР, THEORY GAMES, СТРАТЕГИЯ, STRATEGY, БАНК, BANK

Разработан стационарный метод Галёркина для неклассического уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Показано, что при определенных условиях точное решение первой краевой задачи из весового пространства Соболева является пределом приближенных решений. При этом получена оценка погрешности стационарного метода Галёркина через собственные значения самосопряженной спектральной задачи для квазиэллиптического уравнения четного порядка.

Ключевые слова: СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ГАЛЁРКИНА, STATIONARY GALERKIN METHOD, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, APPROXIMATE SOLUTION, НЕРАВЕНСТВО, INEQUALITY, ОЦЕНКА, ESTIMATION

Рассматривается начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно (L,р)-радиальным оператором M и доказывается ее однозначная разрешимость. Полученные абстрактные результаты иллюстрируются конкретным примером из теории фильтрации, а именно, решается начально-конечная задача для уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Ключевые слова: УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА, SOBOLEV-TYPE EQUATIONS, НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА, ОТНОСИТЕЛЬНО P-РАДИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, RELATIVELY P-RADIAL OPERATORS, INITIAL-FINISH PROBLEM

Приведены два примера из задач химической кинетики, иллюстрирующие применение метода интегральных многообразий. В частности, рассмотрено построение медленных поверхностей сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих модели химических реакций из данных примеров.

Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, MATHEMATICAL MODELLING, СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ, SINGILARLY PERTURBED SYSTEM, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, INTEGRAL MANIFOLDS, МЕДЛЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, SLOW SURFACES

Доказывается, что любые два точные четырехмерные представления вещественной ассоциативной алгебры с делением эквивалентны.

Ключевые слова: ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ, REAL REPRESENTATION OF THE ALGEBRA, АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА, ASSOCIATIVE ALGEBRA, КОНЕЧНОМЕРНАЯ АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ, FINITE-DIMENSIONAL DIVISION ALGEBRA, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ, EQUIVALENT REAL REPRESENTATIONS OF THE ALGEBRA

Рассматриваются линейные обратные задачи для ультрапараболических уравнений. Неизвестными функциями в них являются решение уравнения и правая часть специального вида. Доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, LINEAR INVERSE PROBLEM, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION, ULTRAPARABOLIC EQUATIONS

Для многомерных ультрапараболических уравнений исследуются краевые задачи с заданием граничных условий интегрального вида. Доказываются теоремы разрешимости в классах регулярных решений.

Ключевые слова: УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ULTRAPARABOLIC EQUATION, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ, INTEGRAL CONDITION, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTION, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ, EXISTENCE, UNIQUENESS

Рассматривается задача оптимального управления решениями одной неклассической задачи для линейных эволюционных уравнений, заданных на конечном связном ориентированном графе. Данная задача редуцируется к начально-конечной задаче для абстрактного уравнения соболевского типа соответствующим подбором функциональных пространств. Установлены существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа. Показаны существование и единственность оптимального управления решениями данной задачи. Полученные абстрактные результаты применены к одной линейной эволюционной модели на графе, и установлены существование и единственность решения задачи оптимального управления.

Ключевые слова: ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, OPTIMAL CONTROL, НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА, УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА, SOBOLEV TYPE EQUATIONS, THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM

В работе исследуется задача о равновесии упругой пологой оболочки с вертикальной сквозной трещиной в рамках модели Кирхгофа — Лява. На берегах трещины заданы условия непроникания, которые имеют вид неравенств. Считаем, что в исходном (недеформированном) состоянии оболочки отрицательный берег трещины выступает над положительным берегом на известное расстояние. Задача сформулирована как вариационная. В предположении достаточной гладкости решения получена дифференциальная постановка задачи, эквивалентная вариационной.

Ключевые слова: ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА, VARIATIONAL PROBLEM, ОБОЛОЧКА, SHELL, МОДЕЛЬ КИРХГОФА — ЛЯВА, KIRCHHOFF-LOVE MODEL, ТРЕЩИНА, УСЛОВИЕ НЕПРОНИКАНИЯ, NONPENETRATION CONDITION, CRACKS

Исследована разрешимость первой краевой задачи для уравнения $u_{t}-Au_{yy}-Bu=f(x,y,t),$ с эллиптико-параболическим оператором A и эллиптическим оператором B второго порядка, действующими по пространственным переменным. Для рассматриваемой задачи доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, BOUNDARY VALUE PROBLEM, УРАВНЕНИЕ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА, EQUATION OF SOBOLEV TYPE, РЕГУЛЯРНОЕ РЕШЕНИЕ, REGULAR SOLUTIONS, АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА, APRIORI ESTIMATES

Исследуется характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши в исключительном случае (с особенностями нецелого порядка) на замкнутом гладком контуре. Получены условия разрешимости и явная формула решения в весовых классах.

Ключевые слова: СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ КОШИ, ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ, SINGULAR INTEGRAL EQUATION WITH THE CAUCHY KERNEL, PROBLEM OF LINEAR CONJUGATION

Найдено замкнутое частное решение общей гауссовой бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Указаны условия совместности таких систем.

Ключевые слова: ГАУССОВА СИСТЕМА, GAUSSIAN SYSTEM, НЕОДНОРОДНАЯ БЕСКОНЕЧНАЯ СИСТЕМА, INHOMOGENEOUS, ЛИНЕЙНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS, МЕТОД РЕДУКЦИИ, REDUCTION METHOD, INFINITE SYSTEM

Рассматриваются пространственно нелокальные краевые задачи для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания, связанные в некоторых случаях с применением теории сингулярных интегральных уравнений. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гёльдера. Показано, что гёльдеровские классы их решений в некоторых случаях пространственно нелокальных условий зависят от нецелого показателя Гёльдера при выполнении необходимых и достаточных условий на данные задачи.

Ключевые слова: ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ, PARABOLIC EQUATIONS WITH CHANGING TIME DIRECTION, НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ, NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS, КОРРЕКТНОСТЬ, CORRECTNESS, ПРОСТРАНСТВО ГЁЛЬДЕРА, HELDER SPACE, СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS

Предложена упрощенная трехмерная математическая модель теплового процесс в подшипнике скольжения, представляющая систему двумерного и трехмерного уравнений теплопроводности с конвективным членом, учитывающим подвижность вала. Получен алгоритм для восстановления функции фрикционного тепловыделения методом итерационной регуляризации.

Ключевые слова: ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕ, ТРЕНИЕ, FRICTION, ТЕМПЕРАТУРА, TEMPERATURE, МОЩНОСТЬ ТРЕНИЯ, FRICTION POWER, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА, INVERSE PROBLEM, РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ, REGULARIZATION, HEAT GENERATION