Бугаева А.П. активно ведет научно-исследовательскую работу, областью интересов автора являются следующие направления: духовно-нравственное воспитание младших школьников, формирование функциональной грамотности в начальной школе, региональные аспекты в подготовке учителей будущего. Под руководством Аи Петровны проводится экспериментальная работа с последующим внедрением в практику работы школ. В 2019-2021 годах участвовала в составе рабочей группы Гранта РФФИ в рамках научного проекта №19-013-00730 «Индигенный подход в сопровождении Детства в условиях Арктики». Является экспертом республиканских конференций, республиканского этапа Всероссийских конференций школьников. Член организационной группы и редколлегии, руководитель секции, модератор, эксперт Всероссийских научно-практических и международных конференций.
Ая Петровна автор 197 научно-методических работ, из них 20 учебно-методических пособий и 177 научных работ, используемых в педагогической практике. В том числе, научных статей в БД Scopus – 10, в рецензируемых журналах ВАК – 30, в материалах Международных конференций.
Основные работы: монографии «Регионализация общего образования (на примере математического)» (Якутск, 2006, в соавторстве с Ивановой А.В.), «Личностно-ориентированное обучение в начальной школе» (Москва, 2008), «Исторический опыт воспитания и образования подрастающих поколений в разных странах» (Якутск, 2009), «Духовно-нравственное воспитание младших школьников в образовательном процессе начальной школы (на примере Республики Саха (Якутия))» (Киров, 2021), «Педагогическое сопровождение детства в условиях Севера: индигенный подход» (Киров, 2021, в составе коллектива по гранту РФФИ). Являлась членом предметной группы по разработке национально-регионального компонента государственного стандарта общего образования Республики Саха (Якутия) (2004 г.).