Том 21, выпуск 4

Математика

1. Атласова Е. И. Задачи сопряжения для квазигиперболических уравнений четвертого порядка
Аннотация. Для квазигиперболических уравнений четвертого порядка
h(t)Dt4u + Δu + c(x, t)u = f(x, t), Dt4= ∂4/∂t4 ,
с положительным разрывным коэффициентом h(t) изучается разрешимость краевой задачи с заданием условий сопряжения на поверхности разрыва. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.
Ключевые слова: квазигиперболическое уравнение, задача сопряжения, регулярное решение, априорная оценка.
          
2. Егоров И. Е., Тихонова И. М. Применение модифицированного метода Галеркина к уравнению смешанного типа
Аннотация. Рассматривается частный случай краевой задачи В. Н. Врагова, когда уравнение смешанного типа принадлежит гиперболическому типу вблизи нижнего основания и гиперболо-параболическому типу на верхнем основании цилиндрической области. Для исследования краевой задачи используется модифицированный (нестационарный) метод Галеркина с привлечением метода регуляризации. Для данной краевой задачи построено приближенное решение с помощью решения системы ОДУ третьего порядка. При этом получена оценка погрешности модифицированного метода Галеркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по переменным x ∈ RN.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, априорная оценка, метод Галеркина, неравенство, регуляризация.
 
3. Кожанов А. И. Разрешимость краевых задач для линейных параболических уравнений в случае задания интегрального по временной переменной условия
Аннотация. Изучается нелокальная задача для параболических уравнений
ut + A0u = µu + f
с самосопряженным эллиптическим оператором A0 в случае задания интегрального по временной переменной условия
0t N(t)u(x,t)dt=0.
Приводятся условия, дающие существование, несуществование, единственность и неединственность регулярных решений.
Ключевые слова: параболическое уравнение, интегральное уравнение по временной переменной.
       
4. Кренделев С. Ф., Кузьменок А. Ю. Генераторы псевдослучайных чисел, не имеющие периода
Аннотация. Представлен новый алгоритм генерации псевдослучайных чисел, основанный на решении уравнений вида f(x) = 0 mod pn (n → ∞). Определен способ построения ключей генератора, позволяющих генерировать последовательности, не имеющие периода. Исследованы статистические свойства таких последовательностей с помощью NIST STS. Также проведен обзор возможных обобщений схемы.
Ключевые слова: генератор случайных чисел, 2-адические числа, период, стати стические тесты.
 
5. Иванова А. О., Никифоров Д. В. Высота 5-звезды в плоских нормальных картах с минимальной степенью 5
Аннотация. Рассматриваются нормальные плоские карты M5 с минимальной степенью 5. Высота 5-звезды есть максимальная степень ее вершин. Через h(S5) обозначим минимальную высоту 5-звезд с центром в 5-вершине в данной карте M5. Известно, что существуют нормальные плоские карты M5 с минимальной степенью 5 такие, что h(S5) неограниченно велика. В 1940 г. Лебег доказал, что если M5 не содержит 4-звезд циклического типа (5, 6, 6, 5) с центром в 5-вершине, то h(S5) ≤ 41. В 2013 г. О. В. Бородин, А. О. Иванова и Т.Р. Йенсен понизили эту оценку до 28 и дали конструкцию M5 без (5, 6, 6, 5)-звезд с h(S5) = 20. Доказано, что если M5 не содержит 4-звезд циклического типа (5, 6, 6, 5) с центром в 5-вершине, то h(S5) ≤ 23.
Ключевые слова: плоская карта, плоский граф, 3-многогранник, структурные свойства, звезда, высота.
        
6. Ноговицын Д. А., Шамаев Э. И. Сходимость потока биссектрис для многоугольников
Аннотация. Изучается поток биссектрис для многоугольников на плоскости. Приведено доказательство сходимости такого дискретного геометрического потока в случае строгой выпуклости начального многоугольника.
Ключевые слова: дискретный геометрический поток, эволюция многоугольников на плоскости.
    
7. Honda H. and Tani A. On the Strong Solvability of Primitive Equations for the Coupled Atmosphere and Ocean Model
Аннотация. This communication concerns the free boundary problem of primitive equations for the coupled atmosphere and ocean in three-dimensional strip with surface tension. By using the so-called p-coordinates and another coordinate transformation fixing the time-dependent domain, the temporally local existence of the unique strong solution to the transformed problem is proved in Sobolev–Slobodetskiy spaces.
Ключевые слова: primitive equations, coupled atmosphere and ocean model, free boundary problem, Sobolev–Slobodetskiy spaces, strong solution.

Математическое моделирование

8. Акимов М. П., Захаров П. Е., Матвеева О. И. Численное моделирование динамики температурного поля многолетнемерзлых грунтов при воздействии трубопроводов
Аннотация. Рассматривается численное решение задачи теплопереноса с фазовым переходом, которая описывает процесс распространения тепла в многолетнемерзлых грунтах при воздействии бесканальных подземных трубопроводов. Расчетная область представляет собой прямоугольник с тремя сечениями трубопроводов и несколькими слоями грунтов. Для каждого слоя грунта учитываются его физические свойства: теплопроводность, теплоемкость, температура замерзания, влажность и плотность. Численное решение задачи реализовано методом конечных элементов на треугольной сетке. Полученные результаты численных расчетов сравниваются с результатами натурных наблюдений.
Ключевые слова: фазовый переход, многолетнемерзлые грунты, метод конечных элементов.
       
9. Vabishchevich P. N. and Vasil′ev V. I. Numerically Solving the Identification Problem for the Lower Coefficient of a Parabolic Equation
Аннотация. In the theory and practice of inverse problems for partial differential equations (PDEs) much attention is paid to the identification problem of coefficients fr om some additional information. This article deals with the problem of determining in a multidimensional parabolic equation the lower coefficient that depends only on time. To solve numerically a nonlinear inverse problem, linearized approximations in time are constructed using standard finite element procedures in space. The computational algorithm is based on a special decomposition, wh ere the transition to a new time level is implemented via solving two standard elliptic problems. The numerical results presented here for a model 2D problem demonstrate capabilities of the proposed computational algorithms for approximate solving inverse problems.
Ключевые слова: inverse problem, identification of the coefficient, parabolic partial differential equation, finite element approximation, difference scheme.

10. Федоров А. А. 2D моделирование процесса установления тока в алюминиевом электролизере при замене анода
Аннотация. Приводятся результаты исследования зависимости времени установления тока в алюминиевом электролизере с обожженными анодами от физических параметров при замене анода. Математическая модель строится на основе упрощенной двумерной термо-электрической модели алюминиевого электролизера. Расчеты выполнены на основе метода конечных элементов, приводятся результаты числен
ного моделирования.
Ключевые слова: алюминиевый электролизер, обжиг анода, замена анода, установление тока

11. Чумаков Г. А., Чумакова Н. А. Гомоклинические циклы в одной модели генной сети
Аннотация. Гомоклинические циклы, образованные гетероклиническими траекториями и стационарными точками, существуют в основном в динамических системах с симметрией и могут подвергаться различным бифуркациям. В статье изучаются глобальные аспекты модели генных сетей с тремя переменными и численно исследуется бифуркация гомоклинического цикла, состоящего из трех седели трех гетероклинических орбит. Представляет большой интерес тот факт, что бифуркация гомоклинического цикла характеризуется высокой параметрической чувствительностью к начальным данным. В этом случае при небольших возмущениях концентраций мы сталкиваемся со случайным переходом от релаксационных коле
баний, соответствующих наблюдаемому устойчивому предельному циклу, близкому к треугольному гомоклиническому циклу, к различным устойчивым стационарным состояниям. Сценарий разрушения треугольного гомоклинического цикла имеет простой биологический смысл: в окрестности бифуркационных значений параметров в то время, когда происходит генерация релаксационных импульсов в генной сети, малые флуктуационные выбросы концентраций могут «сбивать» систему с колебательного режима и случайным образом стабилизировать ее к существенно различным стокам.
Ключевые слова: генная сеть, математическая модель, гетероклиническая орбита, гомоклинический цикл, автоколебания, высокая параметрическая чувствительность.