Том 21, выпуск 3

Математика

1. А Антипин В. И. Гладкие решения краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа
Аннотация. Изучается разрешимость краевых задач для так называемых кинетических операторно-дифференциальных уравнений вида But - Lu = f, где L, B — семейства линейных операторов, определенных в комплексном гильбертовом пространстве E, при этом не предполагается, что оператор B обратим и спектр оператора L - λB включен в одну из полуплоскостей Re λ < a или Re λ > a (a ∈ R). При определенных условиях на вышеупомянутые операторы изучается вопрос о гладкости решений в весовых пространствах Соболева.
Ключевые слова: кинетические уравнения, операторно-дифференциальное уравнение, весовые пространства Соболева.
          
2. Гордиенко В. М. Почти ортогональность инвариантных подпространств
Аннотация. Доказано, что для произвольной матрицы инвариантное подпространство, отвечающее локализованной группе собственных чисел, близких по модулю к норме матрицы, состоит из почти собственных векторов и это пространство почти ортогонально другим инвариантным подпространствам матрицы. Аналогично для диссипативной матрицы инвариантное подпространство, отвечающее локализованной группе собственных чисел, близких к вещественным числам, состоит из почти собственных векторов, и это подпространство почти ортогонально другим инвариантным подпространствам матрицы.
Ключевые слова: собственные числа, подпространства, близкие к ортогональным, диссипативные матрицы.
 
3. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. О стационарном методе Галеркина для нелинейного неклассического уравнения третьего порядка по времени с меняющимся направлением времени
Аннотация. В цилиндрической области Q = Ω × (0, T) рассматривается краевая задача для одного нелинейного неклассического уравнения третьего порядка по времени с меняющимся направлением времени. Доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемой краевой задачи. При этом к решению применяется стационарный метод Галеркина. Показано, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность uµ слабо компактной последовательности um слабо сходится к решению краевой задачи.
Ключевые слова: стационарный метод Галеркина, приближенное решение, априорная оценка.
      
4. Егоршин А. О. Уравнения методов идентификации линейных дифференциальных уравнений
Аннотация. Рассматривается вариационный подход к идентификации линейных стационарных динамических моделей. Проводится сравнение его с другими известными подходами к оцениванию коэффициентов линейных моделей динамических объектов по результатам наблюдений: методы ортогональной регрессии и алгебраические методы идентификации. Получены уравнения для оценок, даваемых рассмотренными методами, как функции длины интервала наблюдения.
Ключевые слова: кусочно-линейная динамическая аппроксимация, вариационная идентификация, алгебраическая идентификация, ортогональная регрессия, динамические модели, идентификация в реальном времени.
      
5. Карачанская Е. В. Доказательство обобщенной формулы Ито — Вентцеля с помощью дельта-функции и плотности нормального распределения
Аннотация. Представлено доказательство обобщенной формулы Ито — Вентцеля с использованием стохастической аппроксимации и функции плотности нормального распределения.
Ключевые слова: формула Ито — Вентцеля, обобщенное уравнение Ито, пуассоновская мера, дельта-функция, плотность нормального распределения, сходимость в среднем квадратическом. 
      
6. Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. Полугруппы с финитно аппроксимируемыми полигонами
Аннотация. Изучаются полугруппы, над которыми все правые полигоны финитно аппроксимируемы. Охарактеризованы группы с этим свойством. Доказано, что если все полигоны над полугруппой аппроксимируются конечными, порядки которых ограничены, то полугруппа равномерно локально конечна, т.е. существует функция f(n) такая, что порядок любой n-порожденной подполугруппы меньше f(n).
Ключевые слова: полигон над полугруппой, финитно аппроксимируемый полигон, равномерно локально конечная алгебра.
    
7. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с наклонным препятствием
Аннотация. Рассматривается задача о равновесии пластины, контактирующей с жестким неподвижным препятствием на части внешней кромки. На границе контакта предложено условие, описывающее непроникание точек пластины и препятствия. Предполагается, что нормаль к поверхности возможного контакта пластины с препятствием образует малый угол со срединной плоскостью пластины. Доказана
однозначная разрешимость вариационной задачи о равновесии пластины с условиями типа Синьорини. Найдена дифференциальная формулировка, эквивалентная исходной при достаточной гладкости решения.
Ключевые слова: пластина, трещина, условие непроникания, вариационная задача.
 
8. Пятков С. Г., Короткова Е. М. Об одной линейной обратной задаче для параболической системы уравнений
Аннотация. Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева линейной обратной задачи об определении правой части в параболической системе уравнений. В качестве условия переопределения задаются данные на системе поверхностей. Доказана корректность задачи при определенных условиях на граничные операторы.
Ключевые слова: параболическая система, обратная задача, краевая задача, условия переопределения.
       
9. Шевченко Г. В. Численный метод решения задачи минимизации расхода ресурсов для линейных систем с постоянными запаздываниями в состоянии и управлении
Аннотация. Предлагается численный метод решения задачи минимизации расхода ресурсов для линейных систем с постоянным временным запаздыванием как в фазовых состояниях системы, так и в управлении. Этот метод является обобщением метода решения указанной задачи с запаздыванием только в фазовом состоянии системы. Доказана глобальная сходимость предлагаемого метода к ε-оптимальному решению. Под ε-оптимальным решением понимается допустимое управление u(t), t ∈ [0, T ], переводящее систему в ε-окрестность начала координат и доставляющее функционалу задачи значение, отличное от оптимального не более чем на ε.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздыванием, функционал, оптимальное управление, численный метод.   

Математическое моделирование

10. Антонов М. Ю., Науменкова Т. В., Попинако А. В., Николаев И. Н., Шайтан К. В. Оценка профилей потенциала средней силы методом Umbrella sampling для трансмембранного переноса молекулы воды
Аннотация. Моделирование пассивного трансмембранного транспорта малых молекул методами молекулярного моделирования сопряжено с рядом сложностей по той причине, что за доступное время моделирования практически невозможно наблюдать процесс спонтанной диффузии и измерять усредненные макроскопические характеристики процесса. В связи с этим интерес вызывают подходы и методы, используя которые, можно за достижимое время получать результат, позволяющий проводить сравнительное изучение или сравнение с натурными экспериментальными данными. В данной работе с помощью методов управляемой молекулярной динамики и метода Umbrella sampling изучен процесс трансмембранного транспорта молекул воды через липидный бислой. Использован бислой 1,2-димиристоил-sn-глицеро-3-фосфатидилхолина (ДМФХ) в силовом поле OPLS-AA. Профили средней силы построены из данных расчетов с длинами траекторий 6–10 нс. Произведено сравнение получаемых профилей как при различном пространственном положении пробной (проникающей через бислой) молекулы воды, так и при разном шаге выбора стартовых конфигураций, а также при различных начальных значениях скоростей атомов в системе. Общее время моделирования составило более 10 мс. Показана значительная зависимость результатов расчетов от начальных данных и протокола вычислительного эксперимента. В рамках подхода произведены оценка кинетических параметров проникновения и оценка профиля потенциала средней силы, а также изучена зависимость вычисляемых значений от начальных данных эксперимента. Оценена погрешность вычислений на основе анализа данных ряда численных экспериментов.
Ключевые слова: молекулярное моделирование, метод зонтичной выборки, био-мембраны.
  
11. Старов В. Г. Модификация метода Нейштадта — Итона
Аннотация. В методе Нейштадта — Итона необходимо решать дискретное уравнение для нахождения начального значения сопряженной системы. В процессе решения этого уравнения на каждом шаге необходимо неоднократно находить решение дифференциального уравнения для определения оптимальной траектории. Предлагается «скользящая» аппроксимация решения дискретного уравнения для каждой компоненты с помощью алгебраической функции с последующей ее экстраполяцией. Экстраполяция позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты.
Ключевые слова: допустимое управление, оптимальное управление, сопряженная система.
 
12. Тихонов Р. С., Старостин Н. П. Численное определение температурного поля в системе подшипников на общем валу с учетом скорости его вращения
Аннотация. Предлагается квазитрехмерная математическая модель теплового процесса в системе подшипников на общем валу, учитывающая скорость вращения вала. Приводятся результаты определения временного шага при численном решении задачи методом конечных разностей, исследования взаимного влияния температурных полей в системе подшипников и определения условий, при которых возможно упрощение математической модели.
Ключевые слова: подшипник скольжения, математическая модель, трение, теплопроводность, температура, уравнение теплопроводности, численное решение.