Том 21, выпуск 2

Математика

1. Виноградова П. В., Королева Т. Э. О равномерной оценке скорости сходимости метода Галеркина для нелинейного уравнения третьего порядка
Аннотация. Исследуется метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Получена равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений к сильному решению, зависящая от собственных чисел главного оператора уравнения.
Ключевые слова: дифференциально-операторное уравнение, монотонный оператор, ортопроектор, скорость сходимости, метод Галеркина.
        
2. Гадоев М. Г., Константинова Т. П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов
Аннотация. Исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных с помощью некоэрцитивных форм, ранее рассматривались в [1–3]. В отличие от этих работ мы предполагаем выполнение более слабого условия эллиптичности (см. условие (5)).
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, некоэрцитивная форма.
 
3. Зикиров О. С., Холиков Д. К. Смешанная задача с интегральным условием для уравнений третьего порядка
Аннотация. Исследуется нелокальная задача с интегральным условием для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка с волновым оператором в главной части. Методом Римана доказано существование регулярного решения исследуемой задачи при определенных условиях гладкости на заданные функции.
Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, метод Римана, нелокальная задача, интегральное условие, регулярное решение.
      
4. Исламова А. Ф. Критерий оптимальности для задачи смешанного управления одной вырожденной системой
Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для линеаризованной системы фазового поля, которая относится к системам, не разрешимым относительно производной по времени. Рассматривается задача со смешанным (стартовым и распределенным) управлением и функционалом качества, не учитывающим затраты на управление.
Ключевые слова: оптимальное управление, распределенная система, вырожденные уравнения, критерий оптимальности.
      
5. Марков В. Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка
Аннотация. Рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений высокого порядка вида
u(2m+1)+∑u(i)ai(t)+Lu=f,(x,t)∈Q=(a,b)×(0,T),
оператор L имеет вид
Lu≡(L0u+λ0u+Mu)/g(x),
где L0 — дифференциальный оператор по переменной x, M — его возмущение, а g — вещественная функция, которая может обращаться в 0 и менять знак. Сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной разрешимости данной задачи.
Ключевые слова: спектральная задача, индефинитная метрика, метод продолжения по параметру.
      
6. Намсараева Г. В. Линейные обратные задачи для некоторых аналогов уравнения Буссинеска
Аннотация. Изучается разрешимость линейных обратных задач для уравнения Буссинеска с неизвестным коэффициентом, зависящими от временной переменной t. Для доказательства разрешимости задач используются два различных подхода. Доказаны теоремы существования регулярных решений для данных задач.
Ключевые слова: уравнение Буссинеска, обратная задача, априорная оценка, условия переопределения, существование.
    
7. Николаев О. Ю. Разрешимость линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка
Аннотация. Данная работа посвящена исследованию линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка. Для изучаемой задачи доказываются теоремы существования и единственности решения.
Ключевые слова: уравнение параболического типа высокого порядка, обратная задача, существование, единственность.
 
8. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида
Аннотация. Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.
Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, пространство Соболева, начально-краевая задача, метод продолжения по параметру, априорные оценки, регулярное решение.
       
9. Попов С. В. Гельдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с переменными условиями склеивания
Аннотация. Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими переменные коэффициенты по t ∈ [0, T]. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гельдеровские классы их решений зависят как от знаков коэффициентов условий склеивания (включая концы интервала [0, T]), так и от нецелого показателя про странства Гельдера.
Ключевые слова: разрешимость, краевая задача, параболическое уравнение с меняющимся направлением времени, условия склеивания, система сингулярных уравнений, пространство Гельдера.

10. Попова Т. С. Задача о равновесии вязкоупругого тела с трещиной и тонким жестким включением
Аннотация. Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего трещину и тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит краевые условия типа неравенств, а также интегральное условие, описывающее равновесие жесткого включения. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства гладкости решений, а именно существование производной по временной переменной.
Ключевые слова: вязкоупругость, трещина, тонкое включение, материалы с памятью, вариационное неравенство, краевые условия типа неравенств, условия непроникания.
    
11. Шергин С. Н., Пятков С. Г. О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений 
Аннотация. Рассматривается обратная задача об определении правой части для псевдопараболических уравнений 3-го порядка. В качестве условия переопределения рассматриваются значения решения в отдельных точках. В пространствах Соболева доказывается теорема существования и единственности решений и приводится оценка устойчивости.
Ключевые слова: уравнение псевдопараболического типа, теорема существования и единственности решения, обратная задача, краевая задача.

Математическое моделирование

12. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии
Аннотация. Рассматривается задача об определении функции источников в математических моделях массопереноса по данным дополнительных измерений в отдельных точках области. Искомая неизвестная функция является правой частью в параболическом уравнении конвекции-диффузии относительно концентрации переносимого вещества. В частности, эта функция характеризует источники загрязнения и их местоположение. В работе приведены некоторые теоретические результаты, построен численный алгоритм и описаны результаты численных экспериментов. Известные ранее алгоритмы в основном основаны на минимизации некоторого функционала, не являющегося выпуклым. Отличие построенного алгоритма от известных ранее состоит в том, что он является прямым, не требует большого количества вычислений и показывает хорошую сходимость к решению. Численная реализация основана на методе конечных элементов.
Ключевые слова: алгоритм, параболическое уравнение, обратная задача, метод конечных элементов.